Geometría vectorial 1: Espacios vectoriales

Bueno, lo siento por esta entrada tan parca, pero simplemente quiero mencionar lo que vi hoy en mi primera clase del curso de Geometría Vectorial y Analítica: Espacios vectoriales.

Estos también son conocidos como conjuntos de n-tuplas, donde una n-tupla son varios elementos ordenados:

R^n = {(a_1, a_2,...,a_n)/tal que a_i está en R (conjunto de los reales), para todo i=1,...,n

Algunos de estos conjuntos son muy conocidos, por ejemplo el de las parejas ordenadas

R^2 = {(a_1,a_2)/a_1,a_2 en R}

Este tiene su representación como puntos en el plano cartesiano.

R^3 tiene su representación como puntos en un espacio tridimensional. Otros conjuntos R^n con n > 3 son también usados pero no tienen representación geométrica.

Recordemos que un elemento es una n-tupla (a_1,a_2,...,a_n), a su vez cada n-tupla tiene componentes que son a_1, a_2, etc. que para el curso son números reales).

Con los elementos de estos conjuntos podemos hacer algunas operaciones: la adición, el producto de un número real por una n-tupla y el producto escalar (o producto punto).

La condición para la adición y el producto escalar es que se tienen que hacer entre n-tuplas del mismo conjunto R^n, es decir con el mismo número de componentes.

Por ponerlo de alguna forma son como perros, gatos, hamsters, uno no puede cruzarlos.

Bueno, para realizar la adición simplemente se suma componente por componente de cada n-tupla, es decir, el primer componente de la primera n-tupla, con el primero de la segunda n-tupla, el segundo con el segundo y el resultado debe dar otra n-tupla.

Las propiedades de la adición son las siguientes:

1. (a+b)+c = a+(b+c) (asociativa).

2. Existe o =(0,...,0), tal que para todo a, a+o=a.

Es decir que o es una n-tupla nula y es el módulo bajo la operación de adición.

3. Para todo a = (a_1, a_2,...,a_n), existe una n-tupla designada -a = (-a_1, -a_2,...,-a_n) con la propiedad de que a + (-a) = o = (0,...,0).

El término -a se lee inverso aditivo de a (invertida.

4. a+b = b+a (conmutativa).

El producto de un número real (escalar) por una n-tupla es multiplicar cada uno de los componentes de la n-tupla por el escalar.

ej. 2a = (2a_1, 2a_2, ... , 2a_n)