Geometría vectorial 2: Más sobre espacios vectoriales y vectores

Una palabra más sobre espacios vectoriales o vectores.

Según el libro de Álgebra lineal de Grossman:

"Definimos un vector renglón de n componentes (o n-dimensional) como un conjunto ordenado de n números escrito como

(x1, x2, ... , xn)

Se puede dar una definición similar para un vector columna.

x1 (x sub 1, no sé como poner subíndices acá) es la primera componente del vector, x2 la segunda y así sucesivamente.

La palabra "ordenado" es muy importante, no es lo mismo el vector (0, 1) que el vector (1, 0).

Definimos que dos vectores A, B ambos miembros del mismo plano vectorial, es decir que ambos tienen el mismo número (n) de componentes, son iguales, si y sólo si cada uno de sus componentes correspondientes son iguales: A=B si y solo si a1 = b1, a2 = b2, ... , an = bn

Definimos la suma entre dos vectores A, B de nuevo ambos en el mismo plano vectorial (igual número de componentes) como la suma componente a componente de los dos vectores.

A+B = (a1+b1, a2+b2, ... , an+bn)

La suma da como resultado otro vector en el mismo campo vectorial (de igual número de componentes).

Es MUY IMPORTANTE que los dos vectores sean del mismo tamaño, si no es así la suma no está definida.

Definimos el vector O como el vector de n componentes todos los cuales son iguales a cero. También se le conoce como módulo de adición, pues A+O=A

El inverso aditivo de un vector A se nota con el signo -A y es igual a un vector cuyos elementos correspondientes tienen signo contrario. Se define como el vector tal que A+(-A)=0

Un detalle sobre la "diferencia" o "resta" de vectores: ya que dentro de un vector podemos tener números positivos o negativos, es mejor tratar una resta como la suma por el inverso aditivo (todos los componentes con signos cambiados) del otro vector para evitar tener confusiones con los signos.

La multiplicación de un vector por un escalar (en este caso un número real) es igual a otro vector en el que cada uno de sus elementos es igual al correspondiente el primer vector multiplicado por el escalar:

Sea A un vector en Rn es decir de n elementos ordenados y x un escalar.

xA = (x*a1, x*a2, ... , x*an)

No se define multiplicación entre vectores.