Conjuntos

Buenas tardes a todos,

Ya había hablado antes sobre los conjuntos, pero con los conceptos nuevamente aprendidos, es bueno volverlos a plantear.

Empecemos otra vez por los naturales, aquellos números que nos sirven para contar: 1, 2, 3, 4,... y así hasta el infinito.

Bueno son muy buenos para contar cosas, como manzanas, o mejor no manzanas que siempre utilizamos manzanas, que tal kiwis, sí mejor kiwis.

Bueno, supongan que yo tengo 3 kiwis y me regalan otros 2 kiwis, entonces ahora tengo 3+2= 5 kiwis, vemos que 5 es otro número natural, por lo que podemos sumar con los naturales.

Ahora supongamos que estoy cumpliendo años, y todos mis amigos, unos 4, cada uno me regala 3 kiwis, entonces ahora tendre 3+3+3+3=4*3= 12 kiwis (ya me había comido los otros 5). Como vemos también podemos multiplicar en los naturales y da como resultado otro natural.

Propiedades:

La suma y la multiplicación son operaciones conmutativas, es decir que el orden en que se haga no importa el orden de los sumandos o de los factores, eso no afecta la suma o el producto.

También decimos que la suma es asociativa, pues si tenemos tres números naturales a, b y c

a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c

Tenemos las propiedades modulativas:

a+0 = a (suma)

a*1 = a (producto)

0 es el módulo para la suma y 1 para el producto.

Módulo es algo así como un número que al operar con él no altera el resultado. Este par de números nos serán muy útiles más adelante.

Finalmente tenemos las propiedades distributivas con respecto a la suma y al producto:

m*(a+b) = a*m+b*m

m*(a*b) = a*b*m

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Sin embargo, sólo hemos visto un par de operaciones en los naturales, falta la resta o diferencia y la división, pues resulta que no podemos garantizar que estas dos operaciones nos den como resultado un número natural, por ejemplo: 2-3 o 11/5 dan como resultado números que no son naturales, qué podemos hacer, bueno nos ampliamos a un conjunto en el que podamos hacer estas operaciones.

Vamos por partes, primero la resta, entonces nos metemos al conjunto de los enteros, el cual incluye a los naturales (conocidos como enteros positivos) además del 0 y los enteros negativos (-1, -2, -3,...).

Ahora sí podemos hacer la resta que queramos sin salirnos del conjunto.

Ampliamos la propiedad conmutativa para incluir la resta, así, podemos definir una resta de la siguiente forma:

a-b=a+(-b)=(-b)+a

-b no es más que el inverso aditivo de b.

Como vemos la resta ahora queda dentro de nuestras propiedades.

Ahora, qué hacer con la división, bueno nos ampliamos al conjunto de los racionales.

El cual es el conjunto de números que se pueden expresar como razón de dos enteros: 1/2, -1/3, 5/25, etc.

También podemos expresar estos números en notación decimal: 0,5, -0,333..., etc.

Hay algunos racionales que son decimales periódicos, es decir que tienen algunas cifras decimales que se repiten infinitamente, como 0,333... y otros más complicados 1,4237585858... estos son racionales también.

Es decir son racionales todos los decimales finitos o periódicos.

A los racionales les sumamos un conjunto que nos hace falta para completar a los reales:

Los irraciionales, que son aquellos que se expresan como decimales con infinitas cifras decimales las cuales no se repiten. Son ejemplos de estos números: pi, e (Euler), raíz cuadrada de 2 y en general cualquier raíz cuadrada de un número primo.