Ahora empecemos a llenar la recta de los reales, pero comencemos por los números más sencillos: los naturales.
1, 2, 3, ...
Estos son los que nos sirven para contar, se les llama naturales porque fueron los primeros que utilizó el ser humano.
Sin embargo, que pasa cuando no hay nada que contar, para eso inventamos el 0 y así tenemos los siguientes números:
0, 1, 2, 3, ...
Con ellos podemos hacer operaciones básicas, como la suma, la resta, hasta multiplicarlos y dividirlos, pero, ¿qué pasa cuando nos encontramos con expresiones como 5-7?
Entonces necesitamos un conjunto más, el de los negativos (también llamado de los no-positivos):
..., -3, -2, -1
Y así completamos a los enteros:
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Ahora en nuestra querida recta los podemos representar de la siguiente manera:
Escogemos un punto arbitrariamente y a ese lo designamos el origen, al cual le asignamos el valor de 0, por convención a la derecha de este punto ubicaremos los números positivos y a su izquierda los negativos.
Luego escogemos arbitrariamente una unidad de distancia. Cada número natural n lo representaremos como el punto que se encuentra a una distancia de n unidades del origen.
Pero todavía estamos muy lejos de la recta real, pues si sólo dejamos los puntos de los naturales la veríamos así:
. . . . . . . . . . . . . . .
Si luego dividimos cada unidad en unidades más pequeñas encontraremos los números racionales o fraccionarios: 1/2, 3/4, 1/3, etc. los cuales también podemos representar como decimales finitos o periódicos: 0,5; 0,75; 0,333...; etc.
Podemos dividir nuestras unidades en fracciones muy pequeñas (por ej. 1/1573), con lo cual podríamos llenar cada vez más nuestra recta y ya se vería como una recta.
Pero si nos acercamos veríamos puntos separados: ......................................................................................................... Pues todavía nos falta definir a los números irracionales para completar a los reales, lo cual haremos en una próxima entrada, por ahora vamos con algo de música, esta vez un tema clásico de una excelente película.
Bueno, si está compuesta por puntos si hacemos un zoom lo lo suficientemente grande deberíamos ver los puntos, como cuando en un programa de manipulación le hacemos zoom a la imagen y empezamos a ver los píxeles, ¿no?
Pues no, en teoría por más que nos acerquemos si alcanzamos a ver la recta no la veríamos siquiera aumentar de tamaño, pues está solo tiene una dimensión, además como contiene infinitos puntos, entre dos puntos, por más cercanos que se encuentren siempre habrá infinitos puntos.
Bueno, esta linea recta pronto nos servirá para representar a los números reales, pues como dijimos una linea tiene infinitos puntos, así como hay infinitos números. Poquito a poco la iremos llenando.
Bueno, primero que todo bienvenidos a este blog en el que quiero publicar mis descubrimientos diarios en este viaje por la matemática que empezará con las matemáticas previas al cálculo como un repaso antes de iniciar mis estudios en la universidad.
Para empezar me gustaría dar un poco de la bibliografía que estaré utilizando por si alguien quiere averiguar un poco más por su cuenta. Entre los libros que más estaré consultando están los siguientes:
Algébra de Baldor Precálculo de Stewart Matemáticas previas al cálculo de Leithold Álgebra y trigonometría de Swokowski
No los utilizo porque sean los mejores, si no porque los tengo más a la mano y son de los que más entiendo, hay muchos otros libros sobre estos temas y con dedicación cualquiera es bueno, aparte del obvio recurso de la internet.
Y para completar el título del blog aquí un video de una versión de Bach
